Правило Алексея Николаевича Крылова – это метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на разложении искомой функции в ряд Тейлора. Этот метод был предложен в начале XX века выдающимся русским ученым и кораблестроителем Алексеем Николаевичем Крыловым, который внес большой вклад в развитие математики, механики, физики, астрономии и других наук.
Приближенные вычисления – это способ нахождения приближенного значения некоторой величины, которое отличается от точного значения не более чем на заданную погрешность. Приближенные вычисления широко применяются в науке и технике, когда точное решение задачи невозможно или затруднительно получить. Одним из способов приближенных вычислений является использование рядов, то есть бесконечных сумм слагаемых, образующих некоторую последовательность.
Ряд Тейлора – это один из видов рядов, который позволяет представить некоторую функцию в виде суммы степеней ее аргумента, умноженных на коэффициенты, зависящие от производных функции. Ряд Тейлора имеет вид:
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+3!f′′′(a)(x−a)3+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n+…
где f(x) – исходная функция, a – точка, в окрестности которой строится ряд, f′(a),f′′(a),…,f(n)(a) – производные функции в точке a, n! – факториал числа n.
Ряд Тейлора позволяет приближенно вычислить значение функции в некоторой точке, если известно значение функции и ее производных в другой точке. Чем больше слагаемых в ряде учитывается, тем точнее приближение. Однако, не для всех функций и не во всех точках ряд Тейлора сходится, то есть дает конечный и точный результат. Поэтому необходимо проверять условия сходимости ряда перед его применением.
Правило Крылова – это способ построения ряда Тейлора для решения дифференциальных уравнений вида:
y′=f(x,y)
где y – искомая функция, x – независимая переменная, f(x,y) – заданная функция.
Еще в глубокой древности возникли некоторые первые приемы приближенных вычислений. Математические задачи с приближенными вычислениями решали в Древнем Египте и Вавилоне. А сейчас, в наше время, разработаны разные методы приближенных вычислений. Академик Алексей Николаевич Крылов внес большой вклад в развитие теории приближенных вычислений. Но он был не только математиком, но и механиком-кораблестроителем, и в этой области сделал тоже ряд очень важных технических открытий.