Исаак Ньютон – один из величайших ученых в истории человечества, который сделал революционные открытия в области физики, математики, астрономии и оптики. Его труд “Математические начала натуральной философии” считается одним из основополагающих произведений в науке, в котором он сформулировал законы движения и закон всемирного тяготения. Но не все знают, что Ньютон также интересовался алгеброй и разработал свой метод решения алгебраических уравнений с помощью алгебраических дробей.
Алгебраическая дробь – это дробь, в которой числитель и знаменатель являются многочленами, то есть выражениями, состоящими из переменных и констант, связанных знаками сложения, вычитания и умножения. Например, x^2 + 1 / x – 1 – это алгебраическая дробь. Алгебраические дроби часто возникают при решении уравнений, содержащих корни или степени. Для того, чтобы упростить или преобразовать такие дроби, нужно знать правила их сокращения, сложения, вычитания, умножения и деления.
Ньютон изучал алгебраические дроби в своей работе “Арифметика универсальная”, опубликованной в 1707 году. В этой книге он представил свой метод нахождения числового значения алгебраической дроби при заданном значении переменной. Суть метода заключается в том, что алгебраическая дробь разлагается на простейшие дроби, то есть такие, в которых знаменатель является простым многочленом первой или второй степени. Затем каждая простейшая дробь подвергается ряду преобразований, позволяющих выразить ее через бесконечную геометрическую прогрессию. Таким образом, можно получить приближенное значение алгебраической дроби с любой желаемой точностью.
Например, рассмотрим алгебраическую дробь x / (x^2 + x – 2) при x = 2. Сначала разложим ее на простейшие дроби:
x / (x^2 + x – 2) = x / ((x + 2) (x – 1)) = A / (x + 2) + B / (x – 1),
где A и B – неизвестные коэффициенты. Для того, чтобы найти их, нужно привести дроби к общему знаменателю и приравнять числители:
x = A (x – 1) + B (x + 2).
Подставляя x = -2 и x = 1, получаем систему уравнений:
-2 = -3A + 0B,
1 = 0A + 3B.
Отсюда A = 2/3 и B = 1/3. Таким образом,
x / (x^2 + x – 2) = 2/3 / (x + 2) + 1/3 / (x – 1).
Теперь применим метод Ньютона к каждой простейшей дроби. Для этого нужно выделить из знаменателя множитель, равный значению переменной, и перенести его в числитель:
2/3 / (x + 2) = 2/3 / (2 + (x – 2)) = 1/3 / (1 + (x – 2) / 2),
1/3 / (x – 1) = 1/3 / (1 + (x – 1) – 1) = 1/3 / (1 + x – 2).
Затем преобразуем дроби в виде суммы бесконечных геометрических прогрессий, используя формулу:
1 / (1 + y) = 1 – y + y^2 – y^3 + …,
где |y| < 1. В нашем случае:
1/3 / (1 + (x – 2) / 2) = 1/3 * (1 – (x – 2) / 2 + ((x – 2) / 2)^2 – ((x – 2) / 2)^3 + …),
1/3 / (1 + x – 2) = 1/3 * (1 – (x – 2) + (x – 2)^2 – (x – 2)^3 + …).
Складывая эти прогрессии, получаем:
x / (x^2 + x – 2) = 1/3 * (2 – x/2 + x^2/4 – x^3/8 + …) + 1/3 * (1 – x + x^2 – x^3 + …).
Подставляя x = 2, получаем:
2 / (2^2 + 2 – 2) = 1/3 * (0.5 + …) + 1/3 * (-0.5 + …).
Так как первые члены прогрессий взаимно уничтожаются, то для получения приближенного значения дроби достаточно взять следующие члены:
= 1/3 * (-0.5/4 + …) + 1/3 * (-0.5^2 + …)
= (-0.0416666…) + (-0.0833333…)
= -0.125.
Это и есть приближенное значение алгебраической дроби при x = 2 с точностью до трех знаков после запятой. Для повышения точности можно учитывать больше членов прогрессий.
Метод Ньютона был одним из первых способов вычисления алгебраических дробей, который не требовал нахождения корней многочленов. Он показал, что алгебраические дроби могут быть представлены в виде бесконечных рядов, которые можно суммировать с любой желаемой точностью. Этот метод открыл новые возможности для исследования свойств алгебраических дробей и их приложений в различных областях математики и физики.