Без чего математика не может существовать? Отвечаем: мы должны четко представлять себе, каким образом мы получаем ответы на заданные вопросы. Вот как раз за это отвечает предмет, который называется «логика». Первая формализованная версия этой дисциплины была описана Аристотелем в 4 веке до нашей эры. И даже сегодня значительная часть математики отталкивается именно от этого способа мышления, которое еще называют «аристотелевым мышлением».
Когда мы создаем в математике уравнение, мы понимаем, что все элементы этого уравнения должны взаимодействовать друг с другом неким определенным способом. Полученный результат будет повторяться независимо от того, сколько раз мы будем производить эти вычисления. И если мы будем опираться на этот же набор верных допущений, то это же самое будет получаться при решении любой подобной задачи. Таким образом, главным в математике является то, что если какое-то взаимодействие приводит к определенному результату, то этот результат останется постоянным.
Правила математической логики были описаны почти 2 400 лет назад Аристотелем. Он определил основные принципы этого философского предмета. Все они были изложены в трудах под названием «Органон» («инструмент», «метод»). В центре своей логики Аристотель поставил дедукцию. Он писал, что «дедукция» – это «высказывание (логос), в котором при утверждении чего-либо из него необходимо вытекает нечто отличное от утвержденного и (именно) в силу того, что это (первоначальное утверждение) есть. Кстати, знаменитая дедукция Шерлока Холмса не была аристотелевой. С точки зрения логики Шерлок Холмс демонстрировал в своих расследованиях индуктивное мышление – он восстанавливал утраченные звенья в цепочке уже существующих логических связей.
То, что утверждается при дедукции, называется посылкой (аксиомой или гипотезой), а то, что вытекает из этих утверждений, называется выводом или теоремой. И… если верны посылки, то верны и выводы. Такой процесс называется силлогизмом (от греческого слова «вывод», «заключение»). Если силлогизмы приводят к неверным выводам, то это называется логической уловкой или софизмом. Аристотель в своих трудах привел 256 всех возможных типов таких софизмов.
Все труды Аристотеля, к сожалению, были утрачены в период Темных веков (устаревшее название периода раннего Средневековья в Европе (с 4 по 10 века)), но его оригинальные тексты сохранились в Византийской империи. К 11 веку труды Аристотеля были заново открыты около 750 года нашей эры и переведены на арабский язык. К 19 веку математическая логика развилась настолько, что начала выходить за рамки аристотелевых силлогизмов и показала их ограниченность. И все же силлогизмы остаются центральной частью теории множеств, которая относится практически ко всем разделам математики – от статистики до теории бесконечности.
Загрузка ...
0 Комментариев