Пятый постулат Евклида – это одна из аксиом, лежащих в основе классической планиметрии. Он был сформулирован в “Началах” Евклида следующим образом: « И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Это утверждение означает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Эта формулировка была дана Проклом и называется аксиомой Плейфера.
Пятый постулат Евклида сильно отличается от других постулатов Евклида, которые кажутся более простыми и очевидными. Поэтому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей.
Однако эти поиски не были напрасны, так как в конечном счете привели к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Оказалось, что существуют другие геометрии, в которых пятый постулат Евклида не выполняется. Эти геометрии называются неевклидовыми.
Неевклидова геометрия
Неевклидова геометрия – это геометрия, в которой нарушается один или несколько постулатов Евклида. Существует два основных типа неевклидовой геометрии: гиперболическая и эллиптическая.
Гиперболическая геометрия – это геометрия, в которой через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной данной. Это означает, что сумма углов треугольника меньше 180 градусов, а площадь круга меньше πr2.
Эллиптическая геометрия – это геометрия, в которой через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Это означает, что сумма углов треугольника больше 180 градусов, а площадь круга больше πr2.
Открытие неевклидовой геометрии
Первые наброски неевклидовой геометрии были сделаны еще в XVIII веке Фаркашем Бояи и его сыном Яношем Бояи. Они попытались доказать невозможность пятого постулата Евклида, но вместо этого получили новые геометрические теоремы, которые противоречили евклидовой геометрии.
Первым, кто полностью разработал гиперболическую геометрию, был Карл Гаусс. Он сделал это в начале XIX века, но не опубликовал свои результаты, опасаясь непонимания и критики. Поэтому приоритет за открытием гиперболической геометрии обычно отдают Николаю Лобачевскому и Яношу Бояи, которые независимо друг от друга изложили свои идеи в 1829 и 1832 годах соответственно.
Первым, кто полностью разработал эллиптическую геометрию, был Бернар Риман. Он сделал это в 1854 году в своей знаменитой лекции “О гипотезах, лежащих в основе геометрии”. В этой лекции он также предложил обобщить понятие пространства на случай произвольной размерности и кривизны.
Значение неевклидовой геометрии
Неевклидова геометрия имеет большое значение не только для математики, но и для физики. Она позволяет описывать свойства пространства и времени в релятивистской теории Эйнштейна, а также изучать различные абстрактные структуры в топологии и алгебре.
Неевклидова геометрия также имеет эстетическую ценность. Она вдохновляла многих художников и писателей, таких как Эшер, Дали, Борхес и других. Она показывает, что реальность может быть не такой, какой мы ее привыкли видеть, и что существуют другие возможные миры, которые можно изучать и представлять.
Заключение
Пятый постулат Евклида – это одна из аксиом классической планиметрии, которая была подвергнута многовековым попыткам доказательства или опровержения. Эти попытки привели к открытию неевклидовой геометрии, которая расширила наши представления о пространстве и его свойствах. Неевклидова геометрия имеет много приложений в математике, физике и искусстве.